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其一 三角形
前置知识：
- 简单的三角函数
- 简单的几何性质
- 辅助角公式
辅助角公式的几何证明随处可见
相较于上个视频
我来说一下
我个人对辅助角公式的理解
三角函数离不开三角形
更何况我们还是要用几何去解释
对于辅助角公式的几何图形来说
我们需要三个直角三角形
分别以a为斜边
b为斜边
根号下a方加b方为斜边
由于直径所对的圆周角为直角
所以后续的直角三角形都会借助圆来画
先做出直角边为a，b的三角形
这个三角形斜着摆放
是因为现在放正的话
后续展开的图形会是倾斜的
所以这里以a方加b方为斜边的三角形
我们借助圆来斜着放
长边为a 短边为b
斜边为根号下a方加b方
接着借助圆来画出
斜边为a的直角三角形
我们就把直角放在点F的正下方
三角形O F G是以a为斜边的直角三角形
然后我们做出以b为斜边的直角三角形
把直角放在点F的正上方
此时很容易就得到
角F O G和角E F H是相等的
我们设为theta
这里误写成了alpha
后续会一直用theta代替
这时候 线段HG的长为线段HF
加上线段FG的长度
线段FG的长度为a乘以sin theta
线段HF的长度为b乘以cos theta
HG的总长正好是a倍的sin theta
加上b倍的cos theta
然而目前HG不属于任何一个三角形
我们将它向左平移 组成一个新的直角三角形E O I
直角三角形E O I中聚集了
辅助角公式的 所有要素
很容易由三角函数得出
根号下a方加b方乘以sin (theta + phi) 等于
a倍的sin theta 加上b倍的cos theta
现在只需要确定phi的值
由于phi实际上就是最开始
以根号下a方夹b方为斜边的直角三角形
很容易得出phi的值
利用根号下a方夹b方乘以cos phi 等于a
或是 根号下a方夹b方乘以 phi 等于b
但大多数时候我们见到是 tan phi 等于 a比上b
回顾整个过程 我们发现有两个三角形极为特殊
一个是最开始的三角形 一个是最后的三角形
这两个三角形是否都是同一个直径的圆周角？
它们之间还有更多有意思的关系
但是繁多复杂
性价比极低
不值得详细再提
其二 向量
前置知识
- 向量的点积
- 辅助角公式
假设有两个向量为(a,b)和(cos theta,sin theta)
让它们做点积运算
结果为它们的模长乘以夹角的余弦值
如果用坐标表示就为
对应坐标相乘再相加
这两个等式右边的形式
很难不让人联想到辅助角公式
唯一的区别是余弦对应的值不同
我们做出向量图
找出余弦的表现形式
先做出向量(a,b)
向量(cos theta,sin theta)是
一个单位向量
两个向量之间的夹角为alpha
如果向量(cos theta,sin theta)相对于
x轴的夹角为theta
那么向量(a,b)相对于x轴的夹角
就应该是phi
那么就有theta - phi = alpha
也就是cos alpha = cos ( theta - phi)
整理后就得到辅助角公式的余弦形式
在这个过程中
phi导致theta不能
和alpha相等
那我们尝试旋转向量(a,b)
将向量(a,b)作为x轴
消去alpha和theta的不等
此时a cos theta + b sin theta =
根号下a方加b方 乘以 cos theta
但是我们的向量(a,b)是超前了x轴正方向角度phi
我们则减去phi
我们大胆假设
对于一个形如
a cos theta + b sin theta
的三角函数
归化为余弦形式
就是将向量(a,b)旋转至x轴
旋转角度为phi
旋转方向为正用+
为反用-
如果想归化为正弦形式
则应该将向量(a,b)旋转至y轴
举一个例子
3cos x — 4sin x
所对应的向量为(3,-4)
如果把向量(3,-4)看做x轴，则
3cos x — 4sin x = 5cos theta
不过遗憾的是向量(3,4)
需要再加上53°
才能变成x轴的正方向
所以我们需要把theta加上53°
得出
3cos x — 4sin x = 5cos(theta+53°)
- 作者:NotionNext
- 链接:https://notion.wodersshub.eu.org/article/193181d5-b68e-809c-8fc0-fdc975b2ce96
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